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\begin{document}
\title{本科生科研中期报告\\地月物资运输的高效方案——关于电磁加速机制的研究}
\author{范翔 00904097\\
指导教师：雷奕安
}
\twocolumn[
\maketitle
\begin{abstract}
本文主要讨论用电磁加速的方式取代火箭运输以把大宗物资运送到月球上的可行性。首先根据限制性三体模型，在考虑了空气阻力等一系列实际情况下，计算了使抛射体达到月球所需要的最小速度及加速度；然后计算讨论了四种不同的电磁加速机制的加速度计算，主要过程包括LRC电路的放电过程以及永磁体、超导体等在磁场中的受力问题。电磁加速的整体方案显示出了一定的可行性，在未来有可能变成现实。
\end{abstract}
]
~
\section{引言}
探索太空是人类文明的一个重要目标。而想要把人造卫星往外太空发射，在月球上建立基地是必然要经过的一步，这是因为月球相比于地球和空间站有着得天独厚的优势。

相比于地球，月球的主要优势在于：
\begin{enumerate}
\item 月球具有低重力环境，其重力只有地球的1/6。
\item 月球几乎没有大气层，其空气阻力比地球小得多。

相比于空间站，月球的主要优势在于：
\item 如果在月球表面挖一个洞并且在里面建立基地，则月球的地面就是一个极其良好的防辐射、防撞击的保护层，不必担心仪器损坏。
\item 月球上有着丰富的资源，建立基地所需的资源可以就地挖掘。
\end{enumerate}

然而，想要运送大量物资到月球，采用目前的火箭运输方式并不可行，这主要是因为火箭发射这样一种运输方式存在着固有的问题：
\begin{enumerate}
\item{火箭必须一路上不停地燃烧燃料进行加速，而这就导致一开始的时候其实大部分燃料加速的是燃料，真正用于加速有效载荷的燃料比例低，能量利用效率太低。}
\item{火箭燃料价格非常昂贵，目前火箭发射或航天飞机运送每公斤有效载荷至低地轨道约需2万美元之多。}
\item{火箭运输每次运输的质量只能很小，无法输送大宗物资，以满足在月球建立基地的需求。}
\end{enumerate}

因此，非火箭加速机制的研究便很有必要。其中电磁加速机制是一种主要研究方向。

电磁加速的研究已经开展了几十年，但是目前的研究都只是在加速小质量物体，并且都只是往地面目标进行发射；而我们的目标则是要把物资打出大气层，让飞行器能飞行到月球上去，并且被加速物体的质量相对前人的研究来说要更大。这就需要更加苛刻的条件，分析现有技术能力的极限是否可以满足这种要求就是本文的主要目的。

下面简要回顾一下电磁加速机制的研究简史。历史上第一个有关记载，来自凡尔纳的科幻小说《从地球到月球》（1865年）。1901年，由Kristian
Birkeland负责的"Birkeland gun"是电磁发射的首个重大进展。1936年，由Edwin Northrup领导完成的"Northrup coil gun"是另一个重大进展。1961年，Thom and Norwood利用滑动接触的结构改进了coil gun。1966年，Winterberg提出了利用电容放电来驱动线圈的"transmission line coil gun"。1972年，Marshall提出了"rail gun"的加速机制。1970年代，Gerard O'Neill利用同步加速器改造而成了一个电磁加速装置，并且被驱动的线圈采用超导线圈，被称作"mass driver"。1990年代，Mongeau和Kolm提出了把能量先储存在超导线圈里的方案"quench gun"。1990年代，coil gun经过Bill Cowan等人的巧妙设计，可以更加有效地利用螺线管型主要磁场，称作"Sandia coil gun"。2000年，NASA的一项工程利用特别布置的永磁体阵列来使抛射体悬浮，然后利用直线电动机进行加速，称作"NASA Maglev tracks"。\cite{putman_milestones_2006}\cite{snow_electromagnetic_1992}\cite{davis_advanced_2004}

本文首先计算欲把抛射体打到月球上去所需要的最小速度，进而推算出在一定轨道长度限制下的最小加速度，然后就四种不同的电磁加速机制计算现有技术能力是否能够达到所需的加速度。本文关心的几种方案有以下四种：电容放电驱动永磁体、电容放电驱动互感线圈、电容放电驱动超导圆盘和超导线圈驱动互感线圈。这四种方案略有不同，但是共同点是抛射体都在一段固定轨道内加速，出射之后便不再有驱动力进行加速。

\section{最小出射速度}
首先需要计算想要把抛射体打到月球，它的最小出射速度是多少。因为在飞出电磁加速轨道之后，抛射体不再有加速，因此现有火箭的计算对我们的方案并不适用。用限制性三体模型，用数值计算的方法，可以算出给定发射位置以及出射速度之后抛射体的运动轨迹，进而可以计算出欲达到月球，需要的最小出射速度是多少。

限制性三体问题的概况如下：认为抛射体只在地球及月球的引力下运动，抛射体对地球月球的引力影响可以忽略，认为月球绕地球做匀速圆周运动。设x轴为地心与月球质心的连线方向，地月系统的总质心为其0点，y轴为月球公转平面上垂直于x轴的直线，z轴依靠右手系规则建立。注意这个xyz坐标系（S系）是跟着月球一起转动的。此时的引力方程为：
\begin{equation}
\left\{ \begin{array}{l}
\ddot{x}=2\Omega\dot{y}+\Omega^2x-\frac{Gm_1}{r_1^3}(x+\pi_2 r_{12})-\frac{Gm_2}{r_2^3}(x-\pi_1 r_{12})\\
\ddot{y}=-2\Omega \dot{x}+\Omega^2 y-\frac{Gm_1}{r_1^3}y-\frac{Gm_2}{r_2^3}y\\
\ddot{z}=-\frac{Gm_1}{r_1^3}z-\frac{Gm_2}{r_2^3}z
\end{array} \right.
\end{equation}
公式中各量意义如下：$\Omega$为月球公转角速度，G为万有引力常数，$m_1$为地球质量，$m_2$为月球质量，$r_1$为抛射体到地心的距离，$r_2$为抛射体到月球质心的距离，$\pi_1=\frac {m_1}{m_1+m_2}$，$\pi_2=\frac {m_2}{m_1+m_2}$，$r_{12}$为地月距离。

然后再引入另一参考系：地面系（S'系）。设u为地面系中的速率，$\theta$为发射点的纬度，$\phi$为发射点的经度，$\xi$为出射方向在地面上的投影与赤道线的夹角，$\eta$为出射方向与地面的夹角，$\gamma$为月球的方位角。考虑到地球的自转等影响，可以完成从$(u,\xi,\eta,\phi,\theta,\gamma)$到$(x,\dot x,y,\dot y,z,\dot z)$的参考系转换。若把发射点定在青藏高原上，此时所需要做的，就是调整S'系中的$\xi$$\eta$$\gamma$三个角度，以使得在轨迹能达到月球的情况下让u最小。

另外一个需要考虑的重要问题是空气阻力。在高超声速（马赫数$Ma\gg1$）的情况下，空气阻力主要包括无粘阻力和摩擦阻力这两方面的效应，写作$F=F_p+F_f$。

无粘阻力的公式为
\begin{equation}
F_p=\frac12 C_p\rho A v^2
\end{equation}
其中$\rho$是空气密度，A是横截面积，$C_p=K\sin^2\theta'$为无粘阻力系数，根据\cite{__1995}，其中$K=2.38+0.03792\theta'-0.002521\theta'^2+0.00004583\theta'^3+2.917\theta'^4$
，$\theta'$是尖锥的角度（为了简单，可以假设我们的飞行器是尖锥形状的）。可见飞行器越尖，这部分阻力越小。

摩擦阻力的公式为
\begin{equation}
F_f=\frac 12 C_f \rho S v^2
\end{equation}
其中$\rho$仍是空气密度，S为侧面积，$C_f$为摩擦阻力系数，根据\cite{__2009}，当$Re>10^7$时有经验公式$C_f=\frac {0.455} {{(lg Re)}^{2.58}}$，其中Re为雷诺数。

考虑到以上两种效应之后，只要抛射体形状设计的足够好（$\theta'=10^\circ$），则阻力系数$C_p$和$C_f$的效果总和可以控制在0.1左右。空气密度的数据来自\url{http://www.engineeringtoolbox.com/standard-atmosphere-d_604.html}。

因为抛射体所受到的空气阻力总效果与发射角度（主要是$\eta$）有关，因此计算中实际上是把空气阻力和限制性三体问题放在一起计算的。

计算的结果跟抛射体的横截面积A与质量M密切相关。横截面积越大，空气阻力的影响越大，但是考虑到横截面积越大则可以在加速阶段获得越大的推进力，横截面积必须取适中的值，本文按照$A=1m^2$来继续讨论。质量越大则受空气阻力的影响越小，但是同时加速阶段获得的加速度也越小。计算发现，若M=1t量级，则空气阻力对它的影响太大，以至于无论初速度是多少，抛射体都无法飞出大气层，故只好取M=10t。

在这样的参数下，可以算得：为达到月球，抛射体的出射速度必须在v=9.8km/s以上，发射方向与地面夹角约为$\eta=52^\circ$，在经过大气层得减速之后速度变为8.9km/s。根据匀加速的公式$v^2=2as$，若管道长度限定在最长5km(在较高的山上打隧道)，那么加速度就必须不小于$10000m/s^2$，即1000g。

注意到我们的主要目的是往月球运送大宗物资，而并不是运送精密仪器甚至人类，因此这样大的加速度并不是不可承受的。

\section{电磁加速的计算}
本文主要关心四种物理过程比较简洁清晰的电磁加速设计方案，下面就分开进行详细的计算。这四种方案有一个共同点，就是都需要在一个5km长的轨道上布置上许多加速线圈，一个线圈一个线圈地对抛射体进行同步加速，以实现抛射体时刻受到向前的加速力，简要示意图见图\ref{coilgun}(图片来自\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Coilgun})：
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{Coilgun_animation.png}
\caption{电磁加速机制示意图。}\label{coilgun}
\end{center}
\end{figure}
\subsection{方案一：电容放电驱动永磁体}
在这种方案里：加速线圈上接一个大电容，加速线圈的电流由电容放电产生的瞬时大电流构成；而抛射体则主要由永磁体构成。永磁体具有固定磁矩，它的受力主要由外磁场梯度来提供。

电容放电过程近似为一个LRC电路。LRC电路放电时的电流公式为
\begin{equation}
I(t)=\frac{2CU_0e^{-\frac{Rt}{2LC}}\sinh(\frac{\sqrt{R^2-4LC}t}{2LC})}{\sqrt{R^2-4LC}}
\end{equation}
其中I为电流，L为电感，R为电阻，C为电容，$U_0$为初始电压。我们知道环形线圈在轴线上产生的磁场为
\begin{equation}
B=\frac{\mu_0 r_c^2 I}{2(r_c^2+h^2)^{3/2}}
\end{equation}
其中B即磁感应强度，$r_c$为加速线圈（coil）的半径，h为永磁体的中心到正在放电的线圈的距离。

计算时根据目前技术电容放电产生的最大磁场来定的L、C、R、$U_0$的值。一个典型的放电过程磁场B随时间t变化图如图\ref{LRC}，
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{curve_of_B.png}
\caption{LRC放电过程示意图。横轴为时间t，纵轴为线圈产生的磁感应强度B。}\label{LRC}
\end{center}
\end{figure}
其中的参数为：L=0.1mH, C=0.1F, R=5m$\Omega$, $U_0$=5MV，此时最大磁场约为42T。

永磁体若为圆柱形，则可以近似为有限长通电螺线管，由公式
\begin{equation}
m=B_p \sqrt{l_p^2+{(2r_p)}^2} \pi r_p^2/\mu_0
\end{equation}
计算其磁矩。其中m表示磁矩，$B_p$为永磁体（projectile）的剩磁（即等效的通电螺线管产生的磁感应强度），$l_p$为永磁体的高度，$r_p$为永磁体的底面半径。

单匝线圈在外磁场中的受力为
\begin{equation}
F=\nabla(m\cdot B)=m \frac{\partial}{\partial h}B
\end{equation}
其中第二个等号已经假设我们研究的只是一维情形，h是坐标轴，方向为从地面指向天空为正。对整个永磁体在长度上积分，可以得到永磁体的加速度公式
\begin{equation}\label{a1}
a(t)=\frac{m}{Ml}(B(h(t)+l_p/2)-B(h(t)-l_p/2))
\end{equation}
其中M为永磁体的质量，a为加速度，h为永磁体的中心的坐标，规定正在放电的线圈的坐标为0（若h为负表示永磁体中心尚未到达该线圈）。h(t)与a(t)还有另外的运动学关系，即
\begin{equation}\label{a2}
h'(t)=v(t),\ v'(t)=a(t)
\end{equation}
因此求解时需要将(\ref{a1})式和(\ref{a2})式联立求解。

关于如何同步：我们的想法是让抛射体的前端恰好达到一个线圈时，这个线圈应当处于其电流最大值处，因此$h_0=-l_p/2-T/4*v_0$（T为振荡电路的周期）。另外还得注意，电流波形里sinh中的那个角频率必须很大，否则当抛射体穿过线圈之后那个磁场就成了起阻碍作用的磁场了。

计算时我们使用的典型参数如下：$r_c=1m$，$l_p=10m$，$\pi r_p^2=1m^2$，$B_p=1.4T$（市面上剩磁最大的磁铁采用钕铁硼材料，其剩磁上限就在$1\sim2T$之间）。此时计算出的一个典型的加速度曲线如图\ref{agraph}。
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{curve_of_a.png}
\caption{加速度变化曲线。横轴为时间t，纵轴为加速度a。}\label{agraph}
\end{center}
\end{figure}

最终计算出的结果如下：剩磁1.4T的永磁体，要在外磁场峰值100T左右时才能达到要求的加速度1000g。这个结果并不令人满意，因为永磁体在外磁场过大时会发生磁场反转，进而原有磁性被破坏。使磁体的剩余磁化强度Mr降为零所需施加的反向磁场强度，我们称之为内禀矫顽力，它表征了永磁体在能保持原有磁性的情况下所能承受的最大外磁场强度。不幸的是，永磁体的内禀矫顽力通常最大只是剩磁的$2\sim3$倍，远小于100T，因此看来永磁体的方案并不可行。

\subsection{方案二：电容放电驱动互感线圈}
在这种方案里，外加速线圈仍然使用电容放电，而抛射体则是一个普通线圈或者超导线圈，主要依靠互感在抛射体线圈中产生电流，从而提供受力。

这是一种传统的方案，在参考文献\cite{widner_warp-10:_1991}中已经给出了电路图，见图\ref{dianlu}（来自参考文献\cite{widner_warp-10:_1991}）。其计算公式为：
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{dianlu.png}
\caption{方案二电路图。}\label{dianlu}
\end{center}
\end{figure}
\begin{equation}
(R_a+R_d)I_2+(L_a+L_d)\frac{dI_2}{dt}+V_c=V
\end{equation}
\begin{equation}
(R_a+R_b)I_1+(L_a+L_b)\frac{dI_1}{dt}-R_bI_2-L_b\frac{dI_2}{dt}=V
\end{equation}
\begin{equation}
-R_bI_1-L_b\frac{dI_1}{dt}+(R_a+R_d)I_2+(L_b+L_d)\frac{dI_2}{dt}=-V_c
\end{equation}
\begin{equation}
R_cI_2+L_c\frac{dI_2}{dt}+\sum_{i=1, i\neq k}^{N_s}M_{ki}\frac{dI_i}{dt}+\sum_{j=1}^{N_p}I_j\frac d{dt}M_{kj}=Vc
\end{equation}
\begin{equation}
R_jI_j+L_j\frac{dI_j}{dt}+\sum_{k=1}^{N_s}I_k \frac d{dt}M_{kj}+\sum_{m=1, m\neq j}^{N_p}M_{mj}\frac{dI_m}{dt}=0
\end{equation}
\begin{equation}
F=\sum_{k=1}^{N_s}\sum_{j=1}^{N_p}I_kI_j\frac d {dx}M_{kj}
\end{equation}
根据以上方程组即可计算加速度情况。需要注意的是，方案一里面我并没有考虑抛射体的运动对外线圈的减弱效应，这实际上是不正确的，但是因为方案一中的永磁体产生的B远小于外场的B，因此忽略这种效应也是合理的。而在方案二中，由于互感的出现，已经把抛射体对外线圈的作用完整的考虑在内了。

考虑到普通线圈的欧姆加热效应，电阻必须足够小才能不至于把抛射体熔化，因此可以考虑将普通线圈替换为超导线圈。关于热效应的详细计算需要等前面的方程解完再算。

这组方程的计算是我即将开展的工作。

\subsection{方案三：电容放电驱动超导圆盘}
这种方案的外驱动线圈仍然是电容放电，抛射体则是超导圆盘。利用超导的迈斯纳效应（完全抗磁性）可以推进抛射体，注意这种作用只能是斥力，因此正在通电的线圈应当永远在抛射体后方。

迈斯纳效应即超导体内部总磁感应强度B=0，可以等效成一个超导体圆盘表面的电流环，这个电流环产生的磁场恰好与外磁场相加为零。由这个电流环的受力即可得出超导体的受力。

这种方案的计算与方案一非常相近，因为无论是超导圆盘还是永磁体，在计算时都要等效成电流环来计算。不同的是永磁体拥有固定的磁矩，而超导圆盘的磁矩是随时间空间变化的。然而在我们考虑的情况下，可以认为超导体的磁矩缓变，因此近似为固定磁矩是一种合理的近似。只要考虑到抛射体对外线圈的反作用即可，就仍然可以使用方案一的计算。

第二类超导体的失超磁场可以达到20T，在内外均为20T的情况下加速度基本可以达到要求。发射过程仅为秒的量级，短时间内维持低温超导并不困难，通过携带液氦即可实现。

这个方案的具体计算也是我即将展开的工作。

\subsection{方案四：超导线圈驱动互感线圈}
这种方案中，外线圈为超导线圈，抛射体为普通线圈或者超导线圈。将外部超导线圈提前充满电流，储存能量，当抛射体经过时让超导线圈失超，从而电流减小，通过互感作用把电流的能量传给抛射体。

这是一种比较新的方案，参考文献\cite{nottke_superconducting_1990}中有对这种方案的详细描述。接下来我也将会对这个方案进行计算。

\section{结论}
四种方案中，方案一（电容放电驱动永磁体）是不可行的，但是与此相近的方案二方案三方案四，在现有技术条件下似乎可以达到把货物直接运送到月球的要求，但是尚需进行具体的计算进行确认。即便是现有技术尚无法达到要求，电磁加速机制也是未来研究的一个有前途的方向，一旦技术成熟便可实施。

\section{接着算！！！}
加速时候的横截面积未必一定等于扔出去之后空气阻力那会儿的横截面积，可以飞出轨道之后立刻抛弃掉那一坨线圈，让横截面积减小！！！！！！于是，当横截面积为$0.5m^2$的时候，相应的，让抛射体质量为5t，就和原先的计算一模一样不需要改动了！于是这就可以降低发射时的磁场要求了。

我要对原来的电路做简化。直接一个LRC电路就可以。主要就是计算两个通电螺线管之间的互感，要用到Neumann formula：细丝线圈i和j之间的互感$M_{ij}$可由下式计算
\begin{equation}\label{Neumann}
 M_{ij} = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{C_i}\oint_{C_j} \frac{d\mathbf{s}_i\cdot d\mathbf{s}_j}{|\mathbf{R}_{ij}|} 
\end{equation}
其中$C_i$和$C_j$是线圈的曲线，$d\mathbf{s}_i$和$d\mathbf{s}_j$是小线元，$\mathbf{R}_{ij}$是二者的距离。

具体到我们所研究的情况，(\ref{Neumann})式可以化为
\begin{equation}
M=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{-N_c\pi}^{N_c\pi}\int_{-N_p\pi}^{N_p\pi}\frac{\cos(\theta_1-\theta_2)r_cd\theta_1 r_pd\theta_2}{\sqrt{r_c^2+r_p^2-2r_cr_p\cos(\theta_1-\theta_2)+{(h+\frac{\theta_1}{2N_c\pi}l_c+\frac{\theta_2}{2N_p\pi}l_p)}^2}}
\end{equation}
利用这个式子就可以用数值积分解出互感系数了。

\bibliography{Midterm_report}%要去掉.bib！！！
\bibliographystyle{unsrt}
\end{document}